"İntegral nedir?" sorusuna, hatırı sayılır miktarda kişi "türevin tersidir" cevabını verebilir. Ancak, bu tanımlama için "doğru" demek, yerine "yanlış değil" demek daha yerinde olacaktır. Zira, Bir fonksiyonun integrali en geniş anlamda, belirli bir aralıktaki bağımsız değişkenler için tanımlı fonksiyonun kesiksiz toplamıdır. Bir f(x) fonksiyonu ve x-ekseni arasında kalan ve x=a ile x=b aralığında sınırlı alanı bulmak için yapılan girişim, bize integral kavramını sunmuştur. Kısaca bu tanımı hatırlayalım;
Daha ayrıntılı hatırlamak isteyen okurlarım için aşağıdaki kanalımdan seçtiğim aşağıdaki videoyu izlemelerini tavsiye ederim.
Artık integrali tanımlamış olsak da, ilk başta söze girerken bahsettiğimiz ilişkiyi (integral türevin tersidir) bilmeden, integral hesabı yapabilecek çok kullanışlı bir enstrüman elimizde yok maalesef. Örnek olarak, f(x)=x^2 fonksiyonunun x=1 ile x=2 arasındaki integralini almak istediğimizi düşünelim. Yukarıdaki tanımı kullanarak yazabileceğimiz aşağıdaki eşitlikteki sol taraftaki limiti hesaplamaktan başka çaremiz yoktur.
Sol taraftaki limiti hesaplayalım;
Bu hesaplamada, toplam sembolünün içini düzenleme konusunda şanslıydık. İntegralini hesaplamamız gereken fonksiyonun daha yüksek dereceden bir polinom ile tanımlı olması veya trigonometrik ya da logaritmik bir fonksiyon olması durumunda çok daha uzun işlemler gerekebilirdi.
Zannediyorum, integral kavramı tarih sahnesine ilk çıktığında, uzunca bir süre çok verimli bir integral hesaplama yöntemi yoktu. Dolayısı ile integralin uygulama sahası sınırlı idi. Ancak İntegralin türevin bir ters işlemi olduğu keşfedildiğinde o kadar ciddi bir çığır açıldı ki, bu ilişkiyi açıklayan teoremi "Analiz'in Temel Teoremi" olarak adlandırmayı uygun gördüler.
Aşağıdaki animasyon bu teoremin ispatını açıklamaktadır. Start Presentation düğmesine tıkayın ve sadece dikkatlice izleyin. Reset animation düğmesine tıklayıp başa alarak, defalarca izleyebilirsiniz. (bu arada animasyon ile ilgili görüşlerinizi de yorum olarak yazabilirsiniz.)
Analizin temel teoremi sayesinde, bir f(x) fonksiyonunun integralinin, türevi f(x) fonksiyonunu veren bir A(x) fonksiyonu "A'(x)=f(x)" olduğunu keşfetmiş olduk. Teoremi ispatlarken kullandığımız yaklaşım ile aşağıdaki sonucu da çıkarabiliriz;
Özetlersek; bir f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığındaki integralini hesaplamak için, türevi f(x) fonksiyonu olan bir A(x) fonksiyonu buluruz. Bu fonksiyona f(x)'in ters türevi ya da belirsiz integrali denir. Daha sonra, verilen aralığın üst sınırının A(x) fonksiyonu altındaki görüntüsünden, alt sınırın A(x) fonksiyonu altındaki görüntüsünü çıkartırız.
Yazımıza başlarken "integral türevin tersidir" tanımlaması için neden "doğrudur" yerine "yanlış değildir" dediğimi, sanıyorum anladınız. İntegral kavramını tanımlamaya başlarken, henüz türevin tersi olduğunu bilmediğimizi unutmayın. Türevin tersi olduğunu sonradan öğrendiğimiz için bu şekilde tanımlamayı uygun bulmuyorum.
Son olarak, yukarıda hesapladığımız integrali, Analiz'in temel teoremi ile çözelim. Öncelikle f(x)=x^2 fonksiyonunun ters türevini bulalım.
Yine not düşelim ki, bir fonksiyonun ters türevini bulmak da her zaman kolay değildir. Bu yazının konusu olmadığı için o detaya girmeyeceğim. Temel fonksiyonların ters türevlerini, "Bu fonksiyon neyin türevidir?" düşüncesi ile herhangi bir özel işlem yapmadan bulmak mümkündür.
f(x)=x^2 fonksiyonunun (x^3)/3 fonksiyonunun türevi olduğunu küçük bir kontrol ile anlayabilirsiniz. Bu bilgilerden sonra, f(x)=x^2 fonksiyonun x=1 ile x=2 arasındaki integrali kolayca aşağıdaki gibi hesaplanabilir. A(x)=x^3/3 olduğunu unutmayın!
